数学篇：代几综合问题（一） 北京四中网校柳州分校数学组编写

一、主要考点：

代几综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型。近几年的中考压轴题多以代几综合题的形式出现。解代几综合题一般可分为“认真审题、理解题意；探求解题思路；正确解答”三个步骤。

数学思想是解代几综合题的灵魂，要善于挖掘代几综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程（不等式）的思想等，把实际问题转化为数学问题，建立数学模型，这是学习解代几综合题的关键。题型一般分为：（1）方程与几何综合的问题；（2）函数与几何综合的问题；（3）动态几何中的函数问题；（4）直角坐标系中的几何问题；（5）几何图形中的探究、归纳、猜想与证明问题。

二、方法点拨

方程与几何综合问题是中考试题中常见的中档题，主要以一元二次方程根的判别式、根与系数的关系为背景，结合代数式的恒等变形、解方程（组）、解不等式（组）、函数等知识。其基本形式有：求代数式的值、求参数的值或取值范围、与方程有关的代数式的证明。函数型综合题主要有：几何与函数结合型、坐标与几何、方程与函数结合型问题，是各地中考试题中的热点题型。主要是以函数为主线，建立函数的图象，结合函数的性质、方程等解题。解题时要注意函数的图象信息与方程的代数信息的相互转化。例如函数图象与x轴交点的横坐标即为相应方程的根；点在函数图象上即点的坐标满足函数的解析式等。函数是初中数学的重点，也是难点，更是中考命题的主要考查对象，由于这类题型能较好地考查学生的函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化思想，能较全面地反映学生的综合能力，有较好的区分度，因此是各地中考的热点题型。几何综合题考查知识点多、条件隐晦，要求学生有较强的理解能力，分析能力，解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力，并有较强的创新意识与创新能力。

三、题型解读

考例：如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=x2＋bx＋c经过点O和点P。已知矩形ABCD的三个顶点为A（1，0）、B（1，－5）、D（4，0）。⑴求c、b（可以用含t的代数式表示）；⑵当t>1时，抛物线与线段AB交于点M。在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；⑶在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”。若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。公式

【思路点拨】（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；（2）当x=1时，y=1-t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数；（3）根据图形，可直接求得答案．【答案与解析】解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0， 再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0， ∵t＞0， ｀b=-t；（2）不变。 ∵抛物线的解析式为：y=x2-tx，且M的横坐标为1，｀当x=1时，y=1-t，｀M（1，1-t），｀AM=|1-t|=t-1，∵OP=t，｀AP=t-1，｀AM=AP，∵∠PAM=90°，

｀∠AMP=45°；

（3）公式 ①左边4个好点在抛物线上方，右边4个好点在抛物线下方：无解； ②左边3个好点在抛物线上方，右边3个好点在抛物线下方： 则有 -4＜y2＜-3，-2＜y3＜-1， 即-4＜4-2t＜-3，-2＜9-3t＜-1，

｀公式且公式

解得公式

③左边2个好点在抛物线上方，右边2个好点在抛物线下方：无解； ④左边1个好点在抛物线上方，右边1个好点在抛物线下方：无解； ⑤左边0个好点在抛物线上方，右边0个好点在抛物线下方：无解；

综上所述， t的取值范围是：公式【总结升华】此题考查了二次函数与点的关系。此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用。

考例：如图，在平面直角坐标系公式中，已知二次函数公式的图象与y轴交于C(0，3)，与x轴交于A、B两点，点B的坐标为(-3，0)。 （1）求二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）点M是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM把四边形ACDB分成面积为1:2的两部分，求出此时点M的坐标；（3）点P是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P在何处时△CPB的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P的坐标。

公式

【思路点拨】（1）抛物线的解析式中只有两个待定系数，因此只需将点B、C的坐标代入其中求解即可。（2）先画出相关图示，连接OD后发现：S△OBD：S四边形ACDB=2：3，因此直线OM必须经过线段BD才有可能符合题干的要求；设直线OM与线段BD的交点为E，根据题干可知：△OBE、多边形OEDCA的面积比应该是1：2或2：1，即△OBE的面积是四边形ACDB面积的公式，所以先求出四边形ABDC的面积，进而得到△OBE的面积后，可确定点E的坐标，首先求出直线OE（即直线OM）的解析式，联立抛物线的解析式后即可确定点M的坐标（注意点M的位置）。（3）此题必须先得到关于△CPB面积的函数表达式，然后根据函数的性质来求出△CPB的面积最大值以及对应的点P坐标；通过图示可发现，△CPB的面积可由四边形OCPB的面积减去△OCB的面积求得，首先设出点P的坐标，四边形OCPB的面积可由△OCP、△OPB的面积和得出。【答案与解析】

解：（1）由题意，得：公式公式

所以，二次函数的解析式为： 公式 ，顶点D的坐标为（-1，4）。

（2）画图由Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的坐标，易求四边形ACDB的面积为9.直线BD的解析式为y=2x+6。设直线OM与直线BD 交于点E，则△OBE的面积可以为3或6。

①当公式时，如图，易得E点坐标（-2，2），直线OE的解析式为y=-x。

公式

设M 点坐标（x，-x）， 公式 ｀公式 ② 当公式时，同理可得M点坐标。｀ M 点坐标为（-1，4）。

（3）如图，连接OP，设P点的坐标为公式，∵点P在抛物线上，

｀公式，｀公式公式公式公式

∵公式，

｀当公式时，公式。

△CPB的面积有最大值公式。

｀当点P的坐标为公式时，

△CPB的面积有最大值，且最大值为公式。

公式

【总结升华】此题主要考查了二次函数解析式的确定、图形面积的解法以及二次函数的应用等知识；（2）问中，一定先要探究一下点M的位置，以免出现漏解的情况。

友情提醒

每周中考各科目复习模拟题依次排序如下：星期一（政史），星期二（化学），星期三（语文），星期四（英语），星期五（数学），星期六（物理），敬请关注。

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