有效转化求线段和最小值 延安市实验中学路彦祥

路彦祥延安市数学学会副会长，陕西省教学能手、延安市教学能手、市级骨干教师，现为市实验中学初2013级教师。曾获陕西省初高中数学青年教师优秀课一等奖，全市数学课堂教学大赛一等奖，多次承担着全市数学新课程培训示范课、公开课。

法把CP、PM转化到同一条直线上，利用轴对称变换的性质，C到AB上任意一点P的距离等于它的对称点C1到AB上对应点P的距离，问题就转化为找C1到直线AB上的P点，再到直线BC上的M点线段和问题，利用“垂线段最短”，作C1N垂直BC于M.，交AB与P，则CP+PM最小=C1M以达到化“折”为“垂”即可解决。

2.三动点问题例5:如图，菱形ABCD中，

AB=2， ∠A=120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的任意一点，求PK+QK的最小值。

解析：要使PK+KQ的值最小，就要设法把PK、KQ转化到同一条直线上，利用轴对称变换的性质，BC上的点P到BD上任意一点K的距离等于它的对称点P1到BD上对应点K的距离，问题就转化为找从直线AB上的一点P1到直线AD上的K点再到直线CD上的Q点线段和问题，利用“转折为直、化直为垂”，即“垂线段最短”得PK+KQ的值最小为AD与BC两平行线的距离，即PK+KQ最小=AE=。

从上述几种线段和最小值的疑难突破策略中可以看出，由动点产生的线段和最小值问题，无论其形式和载体如何变化，其本质离不开“两点之间，线段最短”、“垂线段最短”。解题时，关键是要找准对称轴，利用对称变换将点的位置进行转化，从而达到“化折为直”、“化斜为垂”的目的，使问题得以解决。

求线段和最小值问题，在初中几何教学中经常会碰到。这类试题对学生能力要求很高，它不但能考查学生运用数学知识解决生活问题的能力，而且还可以兼顾对学生的数学方法和数学思想的考查，是近几年来中考压轴题的热点考题之一。解决此类题的数学模型，一是归于“两点之间线段最短”，二是归于“垂线段最短”。解题的总体思路是利用对称性实现“折”转“直”，“折”转“斜”转“垂”。

一、“折”转“直”

形

基本图形：直线L的同侧有两点A、B，在L上求一点C，使CA+CB最小。

作法：①取点A关于直线L的对称点A1；②连结A1B与L交于C，点C即为所求。

方法：作对称。

依据：两点之间，线段最短。

数学思想：化折为直。

1.“一线上一动点”线段和最小值问题

例1:如图，正比例函数y=x的图象与反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知三角形OAM的面积为1。

（1）求反比例函数的解析式；

（2）如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小。

解析：（1）利用三角形的面积和交点坐标的意义，确定出点A的坐标是解题的关键。（2）本小题将坐标系反比例函数巧妙地与线段和的最小值结合起来看似求坐标，其难点实为“一动点线段和的最小值”的作图问题，利用轴对称变换本着化“折”为“直”即可解决。

2.“两线上两动点”线段和最小值问

题

例2:如图，∠AOB=45P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值。

分析：本题在最短矩离这一问题中，是典型的两动点问题。利用轴对称变换的性质，P到OB上任意一点R的距离等于它的对称点P1到OB上对应点R的距离，同样P到OA上任意一点Q的距离等于它的对称点P2到OA上对应点Q的距离，问题就转化为找P1到R到Q再到P2的线段和问题，利用“两点之间线段最短”，连接P1P2交OB与R,交OA与Q，以达到化“折”为“直”即可解决。

3.“一线上一动线”线段和最小值问

题

例3:在平面直角坐标系中，矩形

OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标。

解析：要是四边形CDEF的周长最小，由于DC与EF的长一定，实质上仍然是求DE+CF和的最小值，所以只要将问题转化为一动点问题就好了。现固定一个点，即不论EF在什么位置，如图将EF向上平移到BC上，使点F于点C重合，点E落在点G的位置，然后只需在x轴上确定一点E，使得EG+EC最小即可。

二、“折”转“斜”转“垂”形

基本图形：直线L的一侧有一点A、在L上求一点B，使AB最小。

作法：过点A作直线L的垂线AB交L于B，AB为所求。

方法：化斜为垂。依据：垂线段最短。

1.两动点的线段和最小值例4:如图，在ABC中，AC=3，BC=4，AB=5。P为AB上动点,M为BC上一动点。求CP+PM的最小值。

解析：要使CP+PM的值最小，就要设

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