反比例函数应用的探究与教学启示□陈捷

新课程理念强调：课程要面向生活世界和社会实践。反比例函数的知识在生产和实际生活中经常用到，掌握这些知识对学生参加实践活动，解决日常生活中的实际问题具有实用意义。通过反比例函数的应用使学生明确函数、方程、不等式是解决实际问题的三种重要的数学模型，它们之间有着密切联系，并在一定的条件下可以互相转化。在教学过程中，还渗透着建模思想、函数思想、数形结合思想，这些思想也为后面学习二次函数的应用奠定了基础。所以数学课堂教学要充分重视反比例函数的应用。

一、精心设计问题，强调反比例函数与现实生活的密切联系

课堂教学不仅要将学习内容从学生熟悉的生活情景出发，为学生提供观察、操作、实验探究的机会，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习反比例函数和理解反比例函数，体会到数学就在身边，感受到反比例函数应用的趣味。而且还要激发学生运用反比例函数知识解决实际问题的兴趣，培养探索精神、应用意识和实践能力。进一步体会数学的作用和价值，感受到反比例函数的应用之美。

比如，课堂上教师可以先这样设计问题情境：某校科技小组进行野外考察，途中遇到片十几米宽的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务；你能解释他们这样做的道理吗？当人和木板对湿地的压力一定时随着木板面积S的变化，人和木板对地面的压强p将如何变化？如果人和木板对湿地地面的压力合计600 N，那么：(1)用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？(2)当木板面积为 0.2 平方米时，压强是多少？(3)如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象；(5)利用图象对(2)和(3)作出直观解释，并与同伴进行交流。

教师可引导学生分析：首先要根据题意分析实际问题中的两个变量，然后看这两个变量之间存在的关系，从而去分析它们之间的关系是否为反比例函数关系，若是则可用反比例函数的有关知识去解决问题。最后，请全班学生互相交流后回答。第（1）题：p是S的反比例函数，因为给定一个S的值，对应的就有唯一的一个p值和它对应，根据函数定义，则p是S的反比例函数；第(2)题：当S=0.2时，p=3000(Pa)当木板面积为 0.2平方米时，压强是3000Pa；第(3)题：当p=6000 Pa时，S=0.1(平方米)，如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要 0.1 平方米；第（4）题因为这是一个实际问题，所以函数图像只能在第一象限画出；第（5）题(2)是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；(3)是已知图象上点的纵坐标不大于6000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围。

二、精心设计练习，体现反比例函数知识的应用之美

数学家波利亚曾说：“数学教师的责任是尽其可能来发展学生解决问题的能力。”可见体会反比例函数的意义和价值，联系生活实际理解并掌握反比例函数知识，不是我们的最终目标。学以致用，应用所学的知识去发现、分析、直至解决生活中的问题，才是最终的目标。比如，教师可以设计这样的问题引导学生探究解决:某蓄水池的排水管每时排水 8 立方米，6h可将满池水全部排空。(1)蓄水池的容积是多少？(2)如果增加排水管，使每时的排水量达到Q立方米，那么将满池水排空所需的时间t(h)将如何变化？(3)写出t与Q之间的关系式；(4)如果准备在5h内将满池水排空，那么每时的排水量至少为多少？(5)已知排水管的最大排水量为每时 12立方米，那么最少多长时间可将满池水全部排空？

三、加强建模训练，提高学生运用反比例函数知识解决实际问题的能力

狄德罗曾指出：“数学中所谓美的解答则是指一个困难、复杂问题的简单回答。”其实，在反比例函数的应用时，特别是解决综合性比较强的实际应用题的过程，实际上也就是建构一个数学模型的过程。在教学中，我们可以对选编的一些实际问题引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力。通过建模训练，可以让学生体会到反比例函数中的所有知识都是从现实世界中经过逐步抽象、概括而得到的数学模型，与现实世界有千丝万缕的联系，并且可以反过来应用于现实世界解决各类实际问题。   

比如，在课堂上我设计了一个这样的生活问题：小明家离学校1500m，某天小明上学时，发现时间不多了，就加快了行车速度，①小明行车平均速度(υ)与所用时间(t)有怎样的函数关系?②如果所剩时间为15分钟，那么小明的平均速度至少达到多少才能按时到校？③为了安全起见，小明的平均速度最快达到90m/min，他至少要留多长时间，才能安全到校？④画出函数的图象。课堂上引导学生思考：平均速度(υ)随所用时间(t)的变化而怎样变化？是否为反比例函数关系？若是可用反比例函数的有关知识去解决问题。 ②、③两问实际上就是函数的特殊情形,一是已知自变量,求函数值；一是已知函数值,求自变量。从这两问,再引导学生探求自变量的取值范围。 ④问中,指导学生画图,分析问题(多媒体展示函数图象)。设计这道题的目的是为了更贴近学生的生活,以更好地激发学生的求知欲。

四、打造运用反比例函数知识的平台，积累生活实践经验

在新课程教学实践中，教师要坚持数学教学来源于生活、扎根于生活，且反过来又应用、服务于生活的理念。课堂教学要坚持学生运用数学的过程兴趣化、生活化，为学生在生活中运用数学知识、提高数学能力提供一个广阔的平台与空间。让学生把课堂中学到的反比例函数知识返回到生活中去，用生活实践中学到的知识弥补课堂内学不到的知识。自然满足了学生求知的心理愿望，产生了强烈的教与学的共鸣，同时在生活实践中学会了解决问题，这也是反比例函数教学的最大理想。

课堂教学中可以使用如下问题：某地上年度电价为0.8元/度,年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间。经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]

总之，数学应用的基本素质，是未来任何一层次的人都必须具备的基本素质，作为现在的学生对数学应用能力的重视和关注，都将对他一生产生重大影响。为此，在新课程教学中，我们应该始终坚持将反比例函数知识的学习置于学生生活的大课堂中，无论是课前，还是课中乃至课后都应紧密与生活实际相结合，让学生在熟悉的情境中学习反比例函数、理解它、运用它，体会到反比例函数的应用之美。

（作者单位：萧县郭庄初级中学）

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